名师熬夜整理：初中数学九大常用解题办法（必读）

原标题：名师熬夜整理：初中数学九大常用解题办法（必读）今天介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。1.配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。例题：用配方法解方程x2+4x+1=0，经过配方，得到()A．(x+2) 2=5 B．(x－2) 2=5 C．(x－2) 2=3 D．(x+2) 2=3【分析】配方法：若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算。【解】将方程x2+4x+1=0，移向得：x2+4x=－1，配方得：x2+4x+4=－1+4，即(x+2) 2=3；因此选D。2.因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。例题：若多项式x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3），则m的值为A．-2 B．2 C．0 D．1【分析】根据因式分解与整式乘法是相反方向的变形，先将（x-1）（x+3）乘法公式展开，再根据对应项系数相等求出m的值。【解】∵x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3），即x2+mx-3=（x-1）（x+3），∴x2+mx-3=（x-1）（x+3）=x2+2x-3，∴m=2；因此选B。3.换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，从而得到解例题：已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8，则x2+y2的值为A．-5或1 B．1 C．5 D．5或-1【分析】解题时把x2+y2当成一个整体来考虑，再运用因式分解法就比较简单【解】设x2+y2=t，t≥0，则原方程变形得(t+1)(t+3)=8，化简得：(t+5)(t-1)=0，解得：t1=-5，t2=1又t≥0∴t=1∴x2+y2的值为只能是1．因此选B4.判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。注意：①△=b2-4ac＜0，方程无实数根，即无解；②△=b2-4ac =0，方程有两个相等的实数根；③△=b2-4ac＞0，方程有两个不相等的实数根。例题：已当m为什么值时，关于x的方程(m2-4)x2+2（m+1）x+1=0有实根【分析】题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分m2-4=0和m2-4≠0两种形式讨论【解】当m2-4=0即m=±2时，2（m+1）≠0,方程为一元一次方程，总有实根当m2-4≠0即m≠±2时,方程有根的条件是：△=[2（m+1）] 2-4（m2-4）=8m+20≥0，解得m≥-5/2∴当m≥-5/2 且m≠±2时,方程有实根综上所述：m≥-5/2 时，方程有实根5.待定系数法数学常用方法之一。先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。例题：已知函数 的最大值为7，最小值为-1，求此函数式【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。6.构造法在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透。例题：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线交BC于点D。求证：AB＋BD＝AC【分析】若遇到三角形的角平分线时，常构造等腰三角形，借助等腰三角形的有关性质，往往能够找到解题途径。【解】延长CB到点F，使BF=AB，连接AF，则△BAF为等腰三角形，且∠F=∠1.再根据三角形外角的有关性质，得出∠ABD=∠1+∠F , 即∠ABD=2∠1=2∠F，而∠ABD=2∠C，所以∠C=∠1=∠F ， △AFC为等腰三角形，即AF=AC，又可得△FAD为等腰三角形,因此 ，AF=DF=DB+BF=DB+AB,即AB＋BD＝AC。7.反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。例题：若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面【分析】 对于A，若存在直线n，使n∥l且n∥m则有l∥m，与l、m异面矛盾；对于C，过点P与l、m都相交的直线不一定存在，反例如图(l∥α)；对于D，过点P与l、m都异面的直线不唯一．【答案】B8.面积法平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推