R语言中求解线性方程组的方法

在本站上一篇文章中探讨了在R中求解一元方程的方法，本文将进一步探讨R中求解线性方程组的方法。

设有n个未知数的m个方程的线性方程组：

可以抽象成下列的形式：

A_m×nX_n×1 = b_m×1

对于该方程组

有唯一解的充分必要条件是R(A) = R(A, b) = n；

有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) < n；

无解的充分必要条件是 R(A) < R(A, b)

即：其有解的充分必要条件是R(A) = R(A, b)

当n=m时，方程为恰定方程组，则X = A^-1b；

当n<m时，方程组为超定方程组，则X = (A^TA)^-1A^Tb

当n>m时，方程数少于未知量个数，为欠定方程组，有无穷多个解。

1、直接使用矩阵相关知识来求解

（1）恰定方程组

如求下面的方程组：

在R中的求解过程如下：

从图中可以看出该方程组的解为：x1=2，x2=3。

（2）超定方程组

如求下面方程组的解：

编写R程序如下：

A<-matrix(c(1,2,2,3,3,4),nr=3,nc=2,byrow=T)
b<-matrix(c(1,2,3),nr=3,nc=1)
x<-solve(t(A)%*%A)%*%(t(A)%*%b)
x

运行结果如下图所示：

如上图所示可知：该方程的解是x1=1，x2=0

 （3）欠定方程组求解

对于欠定方程组，即方程个数少于变量个数的方程组，可以使用SVD法求解。关于SVD的介绍，大家可以参照这个网址中的介绍：

https://blog.csdn.net/youngpan1101/article/details/54574130

如求解

可以编写代码如下：

A<-matrix(c(1,2,3,2,3,4),nr=2,nc=3,byrow=T)
b<-matrix(c(1,2),nr=2,nc=1)

#对A进行SVD分解
sol.svd <- svd(A)
#获取U D V各个值
U<-sol.svd$u
D<-sol.svd$d
V<-sol.svd$v
C<-t(U)%*%b
Y<-C/D
X<-V%*%Y
X

求得的结果如下图所示：

上图求得的一个解是：x1=0.83,x2=0.33,x3=-0.17

对于R(A) = R(A, b) < n的方程组都可以使用这个方法进行求解。

再如下面的例子：

求解过程如下图所示：

2、使用solve函数来求解

对于R(A) = R(A,b) = n的方程组，可以使用R中提供的solve函数直接求解。

求解代码如下：

A<-matrix(c(2,-1,3,4,-1,1,1,3,-13),3,3,T)
b<-matrix(c(3,3,-6),3,1)
solve(A,b)

运行结果如下：

内容如有问题，请留言。本站将在今后给出一个通用的函数来解决相关问题。敬请关注。

本文为本站原创，如需转载请保留此部分内容及链接：翔宇亭IT乐园（www.k88.net）-R语言中求解线性方程组的方法