Julia 复数和分数

由 陈 创建， 最后一次修改 2016-08-12 复数和分数Julia 提供复数和分数类型，并对其支持所有的标准数学运算 。对不同的数据类型进行混合运算时，无论是基础的还是复合的，都会自动使用类型转换和类型提升。复数全局变量 im 即复数 i ，表示 -1 的正平方根。因为 i 经常作为索引变量，所以不使用它来代表复数了。Julia 允许数值文本作为代数系数 ，也适用于复数：julia> 1 + 2im1 + 2im可以对复数做标准算术运算：julia> (1 + 2im)*(2 - 3im)8 + 1imjulia> (1 + 2im)/(1 - 2im)-0.6 + 0.8imjulia> (1 + 2im) + (1 - 2im)2 + 0imjulia> (-3 + 2im) - (5 - 1im)-8 + 3imjulia> (-1 + 2im)^2-3 - 4imjulia> (-1 + 2im)^2.52.7296244647840084 - 6.960664459571898imjulia> (-1 + 2im)^(1 + 1im)-0.27910381075826657 + 0.08708053414102428imjulia> 3(2 - 5im)6 - 15imjulia> 3(2 - 5im)^2-63 - 60imjulia> 3(2 - 5im)^-1.00.20689655172413796 + 0.5172413793103449im类型提升机制保证了不同类型的运算对象能够在一起运算：julia> 2(1 - 1im)2 - 2imjulia> (2 + 3im) - 11 + 3imjulia> (1 + 2im) + 0.51.5 + 2.0imjulia> (2 + 3im) - 0.5im2.0 + 2.5imjulia> 0.75(1 + 2im)0.75 + 1.5imjulia> (2 + 3im) / 21.0 + 1.5imjulia> (1 - 3im) / (2 + 2im)-0.5 - 1.0imjulia> 2im^2-2 + 0imjulia> 1 + 3/4im1.0 - 0.75im注意： 3/4im == 3/(4*im) == -(3/4*im) ，因为文本系数比除法优先。处理复数的标准函数：julia> real(1 + 2im)1julia> imag(1 + 2im)2julia> conj(1 + 2im)1 - 2imjulia> abs(1 + 2im)2.23606797749979julia> abs2(1 + 2im)5julia> angle(1 + 2im)1.1071487177940904通常， 复数的绝对值( abs )是它到零的距离。 函数 abs2 返回绝对值的平方， 特别地用在复数上来避免开根。angle 函数返回弧度制的相位(即 argument 或 arg )。 所有的基本函数也可以应用在复数上：julia> sqrt(1im)0.7071067811865476 + 0.7071067811865475imjulia> sqrt(1 + 2im)1.272019649514069 + 0.7861513777574233imjulia> cos(1 + 2im)2.0327230070196656 - 3.0518977991518imjulia> exp(1 + 2im)-1.1312043837568135 + 2.4717266720048188imjulia> sinh(1 + 2im)-0.4890562590412937 + 1.4031192506220405im作用在实数上的数学函数，返回值一般为实数；作用在复数上的，返回值为复数。例如， sqrt 对 -1 和 -1 + 0im 的结果不同，即使 -1 == -1 + 0im ：julia> sqrt(-1)ERROR: DomainErrorsqrt will only return a complex result if called with a complex argument.try sqrt(complex(x)) in sqrt at math.jl:131julia> sqrt(-1 + 0im)0.0 + 1.0im代数系数不能用于使用变量构造复数。乘法必须显式的写出来：julia> a = 1; b = 2; a + b*im1 + 2im但是， 不 推荐使用上面的方法。推荐使用 complex 函数构造复数：julia> complex(a,b)1 + 2im这种构造方式避免了乘法和加法操作。Inf 和 NaN 也可以参与构造复数 (参考特殊的浮点数部分)：julia> 1 + Inf*im1.0 + Inf*imjulia> 1 + NaN*im1.0 + NaN*im分数Julia 有分数类型。使用 // 运算符构造分数：julia> 2//32//3如果分子、分母有公约数，将自动约简至最简分数，且分母为非负数：julia> 6//92//3julia> -4//8-1//2julia> 5//-15-1//3julia> -4//-121//3约简后的分数都是唯一的，可以通过分别比较分子、分母来确定两个分数是否相等。使用 num 和 den 函数来取得约简后的分子和分母：julia> num(2//3)2julia> den(2//3)3其实并不需要比较分数和分母，我们已经为分数定义了标准算术和比较运算：julia> 2//3 == 6//9truejulia> 2//3 == 9//27falsejulia> 3//7 < 1//2truejulia> 3//4 > 2//3truejulia> 2//4 + 1//62//3julia> 5//12 - 1//41//6julia> 5//8 * 3//125//32julia> 6//5 / 10//721//25分数可以简单地转换为浮点数：julia> float(3//4)0.75分数到浮点数的转换遵循，对任意整数 a 和 b ，除 a == 0 及 b == 0 之外，有：julia> isequal(float(a//b), a/b)true可以构造结果为 Inf 的分数：julia> 5//01//0julia> -3//0-1//0julia> typeof(ans)Rational{Int64} (constructor with 1 method)但不能构造结果为 NaN 的分数：julia> 0//0ERROR: invalid rational: 0//0 in Rational at rational.jl:6 in // at rational.jl:15类型提升系统使得分数类型与其它数值类型交互非常简单：julia> 3//5 + 18//5julia> 3//5 - 0.50.09999999999999998julia> 2//7 * (1 + 2im)2//7 + 4//7*imjulia> 2//7 * (1.5 + 2im)0.42857142857142855 + 0.5714285714285714imjulia> 3//2 / (1 + 2im)3//10 - 3//5*imjulia> 1//2 + 2im1//2 + 2//1*imjulia> 1 + 2//3im1//1 - 2//3*imjulia> 0.5 == 1//2truejulia> 0.33 == 1//3falsejulia> 0.33 < 1//3truejulia> 1//3 - 0.330.0033333333333332993